Au-delà de Fibonacci : ton Grand oral mérite mieux qu'un exercice de manuel

Fin juin dernier. Cinquième candidat de la matinée. Il se redresse, déglutit, et annonce : “Je vais vous présenter la suite de Fibonacci et le nombre d’or.” Je note dans la marge. C’est le troisième Fibonacci de la session. Et au bout de trente secondes, je sais déjà que je vais m’ennuyer.

Il commence par la définition de la suite. La récurrence $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Il énumère oralement les premiers termes, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Puis il enchaîne sur le ratio $F_{n+1}/F_n$ qui converge vers le nombre d’or $\varphi \approx 1{,}618$. Il évoque la spirale du tournesol. Puis le Parthénon. Puis la coquille de nautile.

Tout ce qu’il dit, je l’ai déjà entendu deux fois ce matin. Tout ce qu’il dit, c’est dans le manuel de Terminale. Tout ce qu’il dit, je peux le retrouver en trente secondes sur Google.

Il finit en sept minutes au lieu de dix. Le silence qui suit est lourd. L’autre membre du jury est aussi blasé que moi. Une seule question lui est posée, du bout des lèvres : “Pourquoi cette suite spécifiquement vous a-t-elle intéressé ?” Il bafouille. Il n’a pas vraiment de réponse. Il a choisi le sujet trois semaines avant l’oral, après avoir tapé “sujet grand oral maths” dans Google.

Ce candidat-là, on l’oublie dans la semaine. Sa note ne sera pas catastrophique, il a récité quelques formules correctement. Mais elle ne sera pas brillante non plus. Le jury n’a aucune raison de la pousser.

Et pourtant, le sujet Fibonacci-nombre d’or est une porte d’entrée vers plein d’autres mathématiques. Le problème n’est pas le sujet. Le problème est l’angle.

Ce que voit le jury en deux minutes

Le jury de Grand oral a entendu, dans la même demi-journée, plusieurs candidats sur le même sujet. Si tu présentes Fibonacci et le nombre d’or de la manière classique, voici ce qui se passe dans la tête de tes examinateurs en moins de deux minutes.

À la première minute, le jury identifie ton sujet et le classe mentalement dans la pile “vu et revu”. Il se prépare à une présentation prévisible. À la deuxième minute, si tu confirmes la prévision en récitant la convergence du ratio vers $\varphi$ et en évoquant les tournesols, le jury arrête d’écouter activement. Il vérifie juste que tu ne dis pas d’erreurs, et il prépare des questions difficiles pour la phase d’échange, parce qu’il ne te tend pas la perche.

C’est mécanique, ce n’est même pas méchant. Un jury voit quarante candidats par session. Son attention est une ressource finie. Il la dépense pour les sujets et les angles qui la méritent.

graph TD
  A["Sujet : Fibonacci et le nombre d'or"]
  A --> B["Angle classique<br/>(récurrence + ratio φ + tournesol)"]
  A --> C["Angle original<br/>(une variante ou un théorème associé)"]
  B --> D["Jury : déjà vu 3 fois ce matin"]
  D --> E["Phase d'échange tendue<br/>questions piège"]
  E --> F["Note correcte mais oubliable"]
  C --> G["Jury : intrigué, écoute active"]
  G --> H["Phase d'échange ouverte<br/>questions de fond"]
  H --> I["Note marquée<br/>candidat retenu"]
  style B fill:#f8e8e8,stroke:#C0392B,color:#1A1A1A
  style F fill:#f8e8e8,stroke:#C0392B,color:#1A1A1A
  style C fill:#e8f5e8,stroke:#27AE60,color:#1A1A1A
  style I fill:#e8f5e8,stroke:#27AE60,color:#1A1A1A

Le problème n’est pas ton niveau. C’est que tu as choisi un sujet sans creuser, et le jury le sait avant même que tu finisses ta première phrase.

La bonne nouvelle, c’est qu’il n’y a aucune raison d’abandonner le thème Fibonacci, à condition de le prendre par l’angle qui te démarque.

Pourquoi le thème vaut bien mieux que ça

La suite de Fibonacci, ce n’est pas juste une récurrence sympa qui converge vers le nombre d’or. C’est une porte qui ouvre sur une dizaine de territoires mathématiques différents. La question n’est pas “est-ce que je dois choisir Fibonacci ou pas”. La question est “par quelle porte je rentre”.

Le sujet “Fibonacci et le nombre d’or” est traité jusqu’à la corde dans les manuels et sur internet. Mais le nombre d’or comme limite d’un ratio n’est qu’une des facettes du sujet. Tu peux aussi parler de Fibonacci en arithmétique, en algorithmique, en biologie, en physique, en théorie des graphes, en cryptographie. À chaque fois, le contenu est tout aussi accessible au lycée, mais l’angle est inattendu pour le jury.

Si tu veux creuser le côté nombre d’or pur, il existe déjà sur ce site des angles plus pointus : les pavages de Penrose où $\varphi$ apparaît dans la géométrie des tuiles, et l’histoire des quasi-cristaux de Dan Shechtman où $\varphi$ structure littéralement la matière. Ce sont déjà deux angles plus solides que le tournesol. Ne refais pas ce qui y est traité, prends tes propres voies.

Voici quatre portes que je trouve particulièrement adaptées au Grand oral. Pour chacune, je te donne le contenu mathématique central, l’angle qui marche en oral, et un teaser de l’article approfondi qui suivra sur ce blog.

Angle 1 : Tribonacci et la généralisation algébrique

Si Fibonacci se contente d’additionner les deux termes précédents, pourquoi ne pas additionner les trois ? C’est la suite de Tribonacci, définie par

Les premiers termes sont $0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, \ldots$ Et comme pour Fibonacci, le ratio $T_{n+1}/T_n$ converge vers une constante. Cette constante n’est plus le nombre d’or. Elle s’appelle la constante de Tribonacci, on la note $\tau$, et elle vaut environ $1{,}839$. Elle est solution réelle de l’équation

Ce polynôme est l’analogue, pour Tribonacci, du polynôme $x^2 = x + 1$ qui définit le nombre d’or. Et tu vois immédiatement où ça mène : on peut généraliser à $k$ termes, on obtient les suites $k$-bonacci, et leur ratio limite est solution de

Plus surprenant : quand $k$ tend vers l’infini, ce ratio limite tend vers $2$. Ce résultat se démontre en deux lignes en réécrivant l’équation, et il transforme complètement la perception qu’on a de Fibonacci. Le nombre d’or n’est plus le nombre magique qu’on t’a vendu. C’est juste le premier d’une famille infinie de nombres algébriques, qui tendent tous vers la limite triviale $2$.

Pour le Grand oral, l’angle Tribonacci ouvre deux voies. La première, combinatoire : le nombre de Fibonacci $F_{n+1}$ compte le nombre de façons d’écrire $n$ comme somme ordonnée de $1$ et $2$. Le nombre de Tribonacci, lui, compte le nombre de façons d’écrire $n$ comme somme ordonnée de $1$, $2$ et $3$. Cette interprétation, démontrable au lycée par récurrence, fait apparaître Fibonacci et Tribonacci comme membres d’une même famille de suites de comptage de compositions, et explique leur structure récursive de manière naturelle.

La seconde voie est géométrique : la constante $\tau$ apparaît dans les coordonnées des sommets du snub cube, l’un des treize polyèdres archimédiens. Ce n’est pas un hasard, c’est une conséquence de la structure du polynôme caractéristique. Pendant les vingt minutes de préparation, tu peux esquisser le polyèdre sur ton support papier pour t’y appuyer pendant l’exposé.

Angle 2 : Le théorème de Lamé, ou comment Fibonacci a inventé la complexité algorithmique

Voici un angle que je ne vois jamais en Grand oral, alors qu’il est particulièrement adapté à un candidat qui suit la spécialité NSI ou qui s’intéresse à l’informatique. Il connecte Fibonacci à l’algorithme d’Euclide et à la naissance de la complexité algorithmique.

Tu connais probablement l’algorithme d’Euclide pour calculer le PGCD de deux entiers. Il consiste à remplacer le couple $(a, b)$ par $(b, a \bmod b)$ jusqu’à ce que le second devienne zéro. Le dernier $a$ non nul est le PGCD. Question naturelle : combien d’étapes prend cet algorithme dans le pire cas ?

En 1844, Gabriel Lamé apporte la réponse. Pour deux entiers $a > b \geq 1$, le pire cas de l’algorithme d’Euclide se produit lorsque $a$ et $b$ sont deux nombres de Fibonacci consécutifs. Plus précisément, le théorème dit que si l’algorithme termine en $k$ étapes, alors $b \geq F_{k+1}$. Autrement dit, pour ralentir au maximum l’algorithme, tu dois choisir des nombres de Fibonacci.

Prenons un exemple. $89$ et $55$ sont deux Fibonacci consécutifs ($F_{11}$ et $F_{10}$). Si tu calcules $\text{pgcd}(89, 55)$ par Euclide, tu obtiens

Tu vois la signature : tous les quotients sont $1$, et les restes successifs sont $34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1$, c’est-à-dire la suite de Fibonacci à l’envers. L’algorithme termine en $9$ étapes. Si tu prenais $89$ et un autre nombre choisi au hasard parmi $\{1, \ldots, 88\}$, tu terminerais en moyenne en bien moins d’étapes.

Le théorème de Lamé est historiquement remarquable. C’est le premier théorème de complexité algorithmique de l’histoire des mathématiques. Plus de cent ans avant que Cobham, Edmonds et Cook posent les fondations de la théorie moderne de la complexité, Lamé démontrait déjà qu’un algorithme classique avait une borne précise sur son nombre d’étapes, et que cette borne était atteinte par une famille d’entiers spéciale.

Pour le Grand oral, l’angle Lamé est solide à plusieurs titres. La démonstration tient en quelques lignes par récurrence sur $k$, donc tu peux la dérouler intégralement à l’oral. Tu peux raconter au jury que tu as testé en Python, à la maison, le nombre d’étapes pour différentes paires d’entiers, et que Fibonacci ressort bien comme le pire cas. Tu peux aussi mentionner que les implémentations modernes de cryptographie RSA tirent parti de variantes de l’algorithme d’Euclide, ce qui te connecte à d’autres sujets riches.

Le candidat qui présente Lamé en Grand oral fait trois choses que les autres ne font pas. Il démontre un vrai théorème oralement, sans béquille de mémorisation. Il fait le pont avec la NSI sans tomber dans le piège du “j’ai fait un programme Python sans rien comprendre”. Et il montre qu’il connaît un peu d’histoire des mathématiques.

Angle 3 : Le théorème de Zeckendorf, ou comment compter en Fibonacci

Le théorème de Zeckendorf est l’un des résultats les plus accessibles sur Fibonacci au lycée, mais il est rarement abordé par mes collègues. Édouard Zeckendorf, mathématicien belge, a publié sa démonstration en 1972, mais le résultat lui-même circulait depuis le début du vingtième siècle. Le voici.

La condition de non-consécutivité est essentielle. Si on autorisait deux Fibonacci consécutifs, on aurait plusieurs représentations possibles, parce que $F_k + F_{k+1} = F_{k+2}$. La contrainte de non-consécutivité élimine cette ambiguïté et garantit l’unicité.

Prenons un exemple. Décompose $100$ en somme de Fibonacci non consécutifs.

Les indices $11$, $6$ et $4$ sont bien deux à deux non consécutifs. Tu peux essayer toi-même avec $42$ ou $1000$, tu trouveras toujours une et une seule décomposition.

La démonstration tient en deux pages. L’existence se prouve par un algorithme glouton : à chaque étape, tu prends le plus grand Fibonacci inférieur ou égal à $n$, tu le soustrais, et tu recommences avec la différence. L’unicité se prouve par récurrence forte, en utilisant un lemme : si tu sommes des Fibonacci non consécutifs dont le plus grand est $F_j$, le total est strictement inférieur à $F_{j+1}$. Donc le plus grand Fibonacci de la décomposition est forcément déterminé par la position de $n$ entre deux Fibonacci consécutifs.

Cette propriété donne lieu à un système de numération alternatif au binaire. Au lieu d’écrire $100$ comme $1100100_2$ (base $2$), tu peux l’écrire comme $1000010100_F$ où chaque bit indique si le Fibonacci correspondant est présent ou non, lu de $F_{11}$ à $F_2$. C’est ce qu’on appelle le codage de Fibonacci, et il a des applications réelles en compression de données : c’est un code universel, il ne nécessite pas de connaître à l’avance la taille des entiers à transmettre.

Pour le Grand oral, Zeckendorf est un sujet rare, intégralement démontrable, et qui fait le pont avec la NSI via le codage. Pendant les vingt minutes de préparation, tu peux préparer sur ton support papier la décomposition d’un entier exemple via l’algorithme glouton, puis la dérouler oralement devant le jury. Tu peux comparer à voix haute la taille du codage de Fibonacci et du codage binaire pour quelques entiers, et indiquer dans quels cas l’un bat l’autre. Et tu peux finir en mentionnant que ce système, alternatif au binaire, est utilisé dans certains protocoles de compression sans perte.

Angle 4 : Phyllotaxie, ou comment démonter un mythe avec Douady et Couder

Si tu fais le sujet “Fibonacci dans la nature”, tu vas tomber dans le piège du jury. Toutes les présentations sont identiques : tournesols, ananas, pommes de pin, coquille de nautile, en ajoutant que “la nature aime le nombre d’or”. Le jury va te pousser doucement dans tes retranchements en te demandant pourquoi la nature aime le nombre d’or, et tu n’auras pas de réponse.

L’angle gagnant est l’inverse : prendre le mythe et le démonter rigoureusement.

Le fait observable est solide. Si tu comptes les spirales sur le cœur d’un tournesol, tu trouves typiquement $55$ spirales dans un sens et $89$ dans l’autre. Sur une pomme de pin, c’est souvent $8$ et $13$. Sur un ananas, $5$, $8$ et $13$. Tous ces nombres sont des Fibonacci consécutifs. Ce n’est pas une superstition, c’est mesurable.

La question intéressante est : pourquoi ?

Pendant longtemps, l’explication était floue. On parlait d’efficacité, de remplissage optimal, d’évolution. Mais aucun modèle physique n’expliquait précisément la mécanique de l’apparition. Jusqu’en 1992, où deux physiciens français, Stéphane Douady et Yves Couder, publient une expérience qui devient une référence mondiale.

Ils prennent un disque tournant, sur lequel ils déposent à intervalles réguliers des gouttes de ferrofluide, un liquide magnétique. Les gouttes se repoussent mutuellement par interaction magnétique, et migrent vers le bord du disque. Le résultat expérimental est stupéfiant : sans aucun contrôle génétique, sans aucun “code Fibonacci” inscrit dans la nature, les gouttes s’auto-organisent spontanément en spirales dont les nombres de bras sont deux Fibonacci consécutifs.

L’explication mathématique est un théorème d’optimisation. Quand un nouvel élément doit être placé sur un disque déjà partiellement rempli, et qu’il subit une répulsion par les éléments précédents, il se positionne à un angle qui minimise la collision avec ses voisins. Cet angle optimal est l’angle d’or, $137{,}5°$, qui correspond à $\dfrac{1}{\varphi^2}$ d’un tour complet. Aucun autre angle ne fait aussi bien sur le long terme : tout angle rationnel produit des “couloirs” périodiques où les éléments se rencontrent, l’angle d’or est l’angle irrationnel “le plus irrationnel” qui les évite tous.

La nature ne “connaît” pas Fibonacci. Elle minimise une fonctionnelle d’énergie, et l’angle d’or émerge comme la solution. Les nombres de Fibonacci apparaissent ensuite mécaniquement, parce que les approximations rationnelles successives de $1/\varphi^2$ sont précisément les ratios $F_k/F_{k+2}$.

Pour le Grand oral, cet angle a plusieurs forces. Tu prends un mythe que tout le monde répète sans le comprendre, et tu le déconstruis mathématiquement. Tu introduis un modèle physique de 1992, moderne, donc inattendu pour le jury. Tu fais le pont entre maths, physique et biologie. Et tu montres que tu sais distinguer un fait observé d’une explication scientifique.

Construire ton oral à partir de ces angles

Tu as choisi un angle. Il te reste à construire les dix minutes de ta présentation. Voici un canevas qui s’adapte aux quatre angles présentés ci-dessus.

Ce plan vaut pour les quatre angles, mais le ton doit s’adapter. Tribonacci appelle un développement algébrique avec polynômes et matrices. Lamé appelle un raisonnement algorithmique illustré par des exemples chiffrés. Zeckendorf appelle une démonstration suivie et une comparaison avec le binaire. Phyllotaxie appelle un récit narratif partant du mythe pour arriver à l’expérience de 1992.

Le point commun est que dans les quatre cas, ta présentation suit une structure de découverte : tu pars du Fibonacci classique (le familier), tu présentes ton angle (l’inattendu), tu démontres ou tu illustres (le solide), tu ouvres (le personnel).

Pour les conseils plus généraux sur la préparation, l’entraînement oral, la gestion du stress et la phase d’échange, je t’invite à lire l’article général Comment réussir son Grand oral de mathématiques. Beaucoup de ce que j’y dis s’applique mot pour mot ici.

Ta checklist anti-piège

Pour conclure

Si tu cherches d’autres sujets pour t’inspirer, ils sont rassemblés sur la page Grand oral. Tu y trouveras des sujets aussi variés que les pavages apériodiques, la cryptographie RSA, l’argument diagonal de Cantor, ou le problème du cavalier sur l’échiquier. Tous ont en commun une chose : ils refusent de se résumer à un exercice de manuel.

Sources

• Lamé, G. (1844). “Note sur la limite du nombre des divisions dans la recherche du plus grand commun diviseur entre deux nombres entiers”. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 19, pp. 867-870.
• Zeckendorf, E. (1972). “Représentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas”. Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège, 41, pp. 179-182.
• Douady, S., Couder, Y. (1992). “Phyllotaxis as a physical self-organized growth process”. Physical Review Letters, 68(13), pp. 2098-2101.
• Couder, Y. (2014). Chaos, morphogenèse et auto-organisation : les rôles de la dynamique. Académie des Sciences, discours.
• IREM de Caen (s. d.). Le tournesol de Fibonacci.
• Sorciers de Salem, CNRS (s. d.). Fibonacci au jardin : un modèle et des explications.
• Wikipedia : Suite de Tribonacci, Théorème de Zeckendorf, Algorithme d’Euclide, Période de Pisano.