Peut-on paver le plan sans jamais se répéter ?
Tout ce qu'il faut savoir pour un grand oral solide sur les pavages apériodiques
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Un carreleur reçoit une commande étrange : couvrir un sol infini avec des carreaux, mais sans jamais créer de motif qui se répète. Pas de grille. Pas de symétrie régulière. Est-ce seulement possible ?
La réponse est oui. Et elle a fasciné les mathématiciens pendant des décennies.
Le problème mathématique
Quand tu regardes un carrelage classique, tu vois des motifs qui se répètent. Une translation suffit pour superposer une partie du carrelage sur une autre partie identique. C’est ce qu’on appelle un pavage périodique : il existe un vecteur de translation non nul qui laisse le pavage invariant.
Un pavage apériodique, c’est l’inverse : aucune translation ne peut superposer le pavage sur lui-même. Le motif ne se répète jamais, même si tu regardes à l’infini.
La question qui a occupé les mathématiciens pendant des décennies : peut-on trouver des tuiles qui forcent l’apériodicité ? Des formes qu’on ne peut assembler que d’une façon qui ne se répète jamais, quoi qu’on essaie ? En 1974, Roger Penrose a montré que oui, avec seulement deux tuiles.
La course à la réduction
En 1961, le mathématicien Hao Wang conjecturait qu’un ensemble de tuiles qui pave le plan admet forcément un pavage périodique. Si c’était vrai, on pourrait décider algorithmiquement si un ensemble de tuiles donné pave le plan ou non.
En 1966, son étudiant Robert Berger prouve que Wang avait tort. Il construit un ensemble de tuiles qui ne permet que des pavages apériodiques. Son ensemble contient 20 426 tuiles différentes. C’est monstrueux, mais ça prouve que de tels ensembles existent.
La course est lancée. Si on peut le faire avec 20 426 tuiles, peut-on faire moins ?
Premier ensemble apériodique prouvé. 20 426 tuiles différentes. La preuve existe, mais personne ne veut l'utiliser en pratique.
Réduit à 92 tuiles. Toujours beaucoup trop pour être élégant.
6 tuiles. On commence à voir la lumière au bout du tunnel.
2 tuiles. Le minimum qu'on puisse espérer pour un ensemble non trivial. Un résultat élégant qui porte son nom depuis.
Les tuiles de Penrose
Roger Penrose a proposé plusieurs versions de ses tuiles. La plus connue, appelée P2, utilise deux formes : le cerf-volant (kite) et la fléchette (dart).
Ces deux formes ne sont pas arbitraires. Elles viennent du pentagone régulier et font intervenir le nombre d’or φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 dans leurs proportions.
Les triangles d’or et d’argent
Pour comprendre les tuiles de Penrose, il faut d’abord comprendre les triangles qui les composent.
Le triangle d’or a des angles de 36°-72°-72°. C’est un triangle isocèle aigu dont le rapport entre le côté et la base vaut exactement φ.
Le triangle d’argent (aussi appelé gnomon d’or dans la littérature mathématique) a des angles de 36°-36°-108°. C’est un triangle isocèle obtus dont le rapport entre la base et les deux côtés égaux vaut exactement φ.
Le cerf-volant se décompose en deux triangles d’or. La fléchette se décompose en deux triangles d’argent.
Et c’est cette relation avec le nombre d’or qui va permettre de prouver l’apériodicité.
Les règles d’assemblage
Tu remarques les arcs colorés sur les tuiles ? Ce ne sont pas décoratifs. Ce sont des contraintes d’assemblage : quand tu poses deux tuiles côte à côte, les arcs doivent correspondre. Vert avec vert, rouge avec rouge.
Ces contraintes locales ont une conséquence globale : elles forcent le pavage à être apériodique. Si tu essaies de créer un motif qui se répète, tu finiras toujours par violer une contrainte d’assemblage quelque part.
Preuve de l’apériodicité
L’idée de la preuve repose sur un mécanisme de subdivision.
Chaque triangle d’or se décompose en deux triangles d’or et un triangle d’argent plus petits. Chaque triangle d’argent se décompose en un triangle d’or et un triangle d’argent plus petits. Si on agrandit ensuite d’un facteur φ, on revient à la taille initiale.
- Triangles d'or
- 1
- Triangles d'argent
- 0
- Ratio G/S
- —
- Écart à φ
- —
Appelons G(n) le nombre de triangles d’or à l’étape n et S(n) le nombre de triangles d’argent. À chaque subdivision :
- G(n+1) = 2·G(n) + S(n) (chaque triangle d’or donne 2 d’or et 1 d’argent, chaque d’argent donne 1 d’or)
- S(n+1) = G(n) + S(n) (chaque triangle d’or donne 1 d’argent, chaque d’argent donne 1 d’argent)
Le ratio G(n)/S(n) converge vers φ quand n tend vers l’infini. Or φ est irrationnel.
Si le pavage était périodique, on pourrait découper une cellule fondamentale finie qui se répète. Cette cellule contiendrait un nombre entier de triangles d’or et de triangles d’argent. Le ratio serait donc rationnel.
Contradiction. Le pavage ne peut pas être périodique.
La preuve formelle utilise l’algèbre linéaire. La matrice de substitution, lue ligne par ligne (première ligne = comment se forme G(n+1), deuxième ligne = comment se forme S(n+1)), est :
Si on note le vecteur le nombre de triangles de chaque type à l’étape n, alors :
Les valeurs propres de M sont et (les solutions de ). La valeur propre dominante est , et un calcul du vecteur propre associé montre que le ratio converge vers .
Pour un pavage périodique, la fréquence asymptotique de chaque type de tuile serait nécessairement rationnelle (chaque cellule fondamentale finie contient un nombre entier de chaque tuile). Or le théorème de Perron-Frobenius, appliqué à la matrice de substitution, garantit que dans le pavage infini la fréquence asymptotique du triangle d’or par rapport au triangle d’argent vaut exactement φ, qui est irrationnel (on le démontre par l’absurde en supposant φ = p/q en fraction irréductible et en montrant une contradiction).
Donc le pavage ne peut pas être périodique. CQFD.
Symétrie d’ordre 5
Les pavages de Penrose ont une propriété remarquable : ils présentent une symétrie de rotation d’ordre 5 autour de certains points. Cela signifie qu’une rotation de 72° (= 360°/5) laisse certaines régions localement invariantes.
Or le théorème de restriction cristallographique affirme que les seuls ordres de symétrie possibles dans un pavage périodique du plan sont 1, 2, 3, 4 et 6. L’ordre 5 est interdit.
La symétrie d’ordre 5 n’est pas une coïncidence. Elle vient directement du pentagone régulier, qui est à l’origine de la construction des tuiles de Penrose.
Ouverture : la tuile Einstein (2023)
Depuis Penrose, une question restait ouverte : peut-on paver le plan de façon apériodique avec une seule tuile ? Le problème porte un nom : le “problème einstein”, de l’allemand “ein stein” qui signifie “une pierre”.
En novembre 2022, David Smith, un technicien à la retraite du Yorkshire, joue avec des formes géométriques sur son ordinateur. Il découvre une forme à 13 côtés qui semble paver le plan sans jamais se répéter. Il contacte Craig Kaplan, informaticien à l’université de Waterloo, qui confirme : cette forme est bien apériodique.
En mars 2023, l’équipe (Smith, Myers, Kaplan, Goodman-Strauss) publie la preuve. Le “chapeau”, comme ils l’appellent, est la première tuile einstein. Mais il y a un bémol : le pavage nécessite d’utiliser des images miroir de la tuile.
Deux mois plus tard, en mai 2023, la même équipe publie une variante : le “spectre”. Cette tuile pave le plan de façon apériodique sans utiliser de miroir. C’est la résolution complète du problème einstein, 50 ans après que Penrose ait réduit le nombre de tuiles à deux.
Pour aller plus loin sur cette histoire, lis l’article dédié : Comment un retraité a résolu un problème vieux de 50 ans.
Ton plan grand oral, minute par minute
Voici un plan calibré pour un passage de 5 minutes. Chaque section est chronométrée. Ne dépasse pas les temps indiqués.
Question du carreleur, 2 tuiles suffisent pour un pavage apériodique.
Périodique vs apériodique. Un ensemble apériodique ne permet QUE des pavages apériodiques.
Cerf-volant et fléchette. Triangles d'or et d'argent. Nombre d'or φ.
Subdivision, ratio irrationnel G(n)/S(n) → φ, contradiction avec périodicité.
Interdit en pavage périodique (théorème cristallographique). Lien quasi-cristaux.
Tuile Einstein 2023 : David Smith, chapeau, spectre. 50 ans de recherche résolus.
Ta checklist avant le passage
Vérifie que tu maitrises
- Tu sais définir un pavage périodique et un pavage apériodique
- Tu sais expliquer pourquoi un ensemble apériodique est différent d'un pavage apériodique
- Tu connais les deux tuiles de Penrose (cerf-volant, fléchette)
- Tu sais expliquer le lien avec le nombre d'or (triangles d'or et d'argent)
- Tu sais démontrer l'apériodicité par l'argument du ratio irrationnel
- Tu sais pourquoi la symétrie d'ordre 5 est impossible en pavage périodique
- Tu connais l'histoire de la tuile Einstein (2023) pour l'ouverture
- Tu sais ce que tu admets et tu l'assumes
Pour conclure
Les pavages de Penrose ne sont pas qu’un sujet de grand oral. C’est un domaine où les mathématiques rencontrent l’art, la cristallographie et même la recherche contemporaine. En 2023 encore, un amateur a résolu un problème vieux de 50 ans.
Si tu maitrises la preuve par le ratio irrationnel, que tu sais expliquer la construction des tuiles à partir du nombre d’or, et que tu es honnête sur ce que tu admets, tu as un grand oral solide. Pas brillant par sa forme, mais solide par son fond. C’est exactement ce qu’un jury attend.
Sources
- Penrose, R. (1974). “The role of aesthetics in pure and applied mathematical research”. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, 10, pp. 266-271. (Article fondateur du concept, présentant le pavage P1 à 6 tuiles.)
- Gardner, M. (1977). “Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles”. Scientific American, 236(1), pp. 110-121. (Popularisation du pavage P2 kite/dart à 2 tuiles, qui est celui qu’on étudie aujourd’hui.)
- Smith, D., Myers, J.S., Kaplan, C.S., Goodman-Strauss, C. (2023). “An aperiodic monotile”. arXiv:2303.10798.
- Smith, D., Myers, J.S., Kaplan, C.S., Goodman-Strauss, C. (2023). “A chiral aperiodic monotile”. arXiv:2305.17743.
- Accromath : “Enfin une tuile einstein !” (2024).