Les maths qu'on ne t'apprend pas en classe

Quand un élève me demande “à quoi ça sert, les maths ?”, j’ai souvent envie de répondre : “Laisse-moi te raconter un truc, et tu me diras après si c’est intéressant ou pas.”

Parce que le programme scolaire, par nature, se concentre sur les outils : les fonctions, les dérivées, les probabilités. Ce sont des briques de construction. Mais il ne te montre presque jamais les cathédrales qu’on a bâties avec. Les histoires que je vais te raconter ici ne sont dans aucun manuel. Elles sont pourtant parmi les plus belles que les mathématiques aient produites.

La loi de Benford : quand les chiffres trahissent les menteurs

Imagine que je te donne une liste de données réelles : la population des villes du monde, les montants des transactions sur ton compte bancaire, la superficie des pays, le nombre de followers des comptes Instagram. Des données qui n’ont rien à voir les unes avec les autres.

Maintenant, regarde le premier chiffre de chaque nombre. Pas le nombre entier : juste le premier chiffre. La population de Paris commence par un 2 (2,1 millions). La superficie de la Russie commence par un 1 (17 millions de km²). Le PIB de la France commence par un 3 (3 000 milliards).

L’intuition te dit que chaque chiffre de 1 à 9 devrait apparaitre à peu près aussi souvent. Un sur neuf, soit environ 11% chacun. C’est faux. Complètement faux.

Le chiffre 1 apparait en première position dans 30% des cas. Le chiffre 2 dans 17,6%. Le chiffre 9 dans seulement 4,6%. C’est la loi de Benford, et elle s’applique à une quantité stupéfiante de données du monde réel. La formule est même élégante :

\displaystyle P(d) = \log_{10}\!\left(1 + \frac{1}{d}\right)

Fréquence du premier chiffre significatif selon la loi de Benford. Le chiffre 1 apparait trois fois plus souvent que le 9. La ligne rouge indique la répartition uniforme que l'intuition prédit (à tort).

Ce qui rend cette loi fascinante, ce n’est pas seulement qu’elle existe. C’est ce qu’on en fait.

L’IRS, le fisc américain, utilise la loi de Benford pour détecter les fraudes fiscales. Le principe est simple : quand quelqu’un invente des chiffres, il a tendance à les répartir de façon trop uniforme. Les vrais chiffres suivent Benford. Les faux, non. Si une comptabilité présente 11% de montants commençant par 1 au lieu de 30%, c’est un signal d’alerte. Pas une preuve, mais suffisamment suspect pour déclencher un contrôle approfondi.

J’aime cette histoire parce qu’elle illustre quelque chose que le programme scolaire ne montre pas assez : nos intuitions sur les nombres sont souvent fausses. Et les maths permettent de le prouver.

Les carrés magiques : de la Chine antique à la Sagrada Familia

Un carré magique, c’est une grille de nombres où chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale ont la même somme. Le plus simple est celui d’ordre 3 : une grille 3×3 remplie avec les nombres de 1 à 9, où chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale totalisent 15.

Ce carré existe depuis des millénaires. La légende chinoise du Lo Shu raconte qu’une tortue est sortie du fleuve Luo avec ce carré gravé sur sa carapace. Le nombre 5 occupe toujours le centre, et il n’existe qu’une seule façon de disposer les chiffres (à rotation et symétrie près). Tu peux essayer de le retrouver toi-même, c’est un exercice satisfaisant.

Mais les carrés magiques deviennent vraiment intéressants quand on passe à l’ordre 4.

En 1514, le peintre et graveur allemand Albrecht Dürer réalise une gravure intitulée Melencolia I. C’est l’une des œuvres les plus analysées de l’histoire de l’art. Dans le coin supérieur droit, Dürer a glissé un carré magique d’ordre 4 dont la constante est 34. Les quatre lignes, les quatre colonnes, les deux diagonales : tout donne 34. Mais Dürer est allé plus loin. Les quatre coins donnent 34. Chaque quadrant 2×2 donne 34. Le carré central 2×2 donne 34. Et dans les deux cases centrales de la dernière ligne, il a placé les nombres 15 et 14 : la date de la gravure, 1514.

Le carré magique de Dürer, tiré de Melencolia I (1514). Les cases 15 et 14 forment la date de la gravure.

Ce carré n’est pas qu’un objet mathématique. C’est une signature. Dürer a montré qu’on pouvait créer de la beauté et du sens à l’intérieur d’une contrainte purement numérique.

Quatre siècles plus tard, sur la façade de la Passion de la Sagrada Familia à Barcelone, le sculpteur Josep Maria Subirachs a gravé un autre carré magique d’ordre 4. Sa constante est 33 : l’âge du Christ à sa crucifixion. Pour obtenir 33 au lieu de 34, Subirachs a modifié le carré de Dürer en répétant deux nombres et en en supprimant deux autres. Ce n’est plus un carré magique “pur” au sens mathématique, mais le message est intact : les maths au service du symbole.

Le nombre d’or : séparons le vrai du faux

Tu as probablement vu des vidéos ou des articles qui te montrent le nombre d’or partout : dans la Joconde, dans la Grande Vague de Hokusai, dans le logo Apple, dans l’Homme de Vitruve. La “divine proportion” qui gouvernerait secrètement l’art et la nature.

Le nombre d’or existe. Il a des propriétés mathématiques réelles et élégantes.

\displaystyle \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

C’est le rapport vers lequel converge le quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci. C’est la solution positive de $x^2 = x + 1$ . C’est le nombre le plus “irrationnel” au sens des fractions continues, celui qui est le plus difficile à approcher par des fractions simples.

Tout ça est vrai, vérifié, démontré. Ce qui est beaucoup moins vrai, c’est son omniprésence supposée dans l’art.

Commençons par le logo Apple. Rob Janoff, le designer qui l’a créé, a déclaré que les théories sur le nombre d’or dans son logo sont fausses. Les courbes du logo ne sont même pas des arcs de cercle. On peut superposer des cercles dorés sur à peu près n’importe quelle forme après coup, ça ne prouve rien.

La Joconde ? Aucun écrit de Léonard ne mentionne le nombre d’or pour ce tableau. On peut tracer des rectangles dorés sur n’importe quel portrait et trouver des “coïncidences”. L’Homme de Vitruve ? Les notes manuscrites de Léonard qui accompagnent le dessin ne parlent que de rapports d’entiers issus de Vitruve : un pied vaut quatre paumes, une coudée vaut six paumes. Pas de phi en vue. Si Léonard avait utilisé le nombre d’or, il l’aurait écrit. Cet homme notait tout.

La Grande Vague de Hokusai ? On peut superposer une spirale logarithmique sur la courbe de la vague. On peut aussi superposer une spirale logarithmique sur à peu près n’importe quelle vague. Il n’existe aucune preuve que Hokusai ait eu connaissance du nombre d’or.

Le nombre d’or apparait véritablement dans la nature : dans la phyllotaxie (la disposition des feuilles sur une tige), dans certaines proportions de coquillages, dans les spirales de tournesol. Mais pas parce qu’une force mystérieuse l’impose. Parce que c’est la solution optimale à des problèmes de croissance et d’empilement. Les maths n’ont pas besoin de mystère pour être belles.

1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12

Si tu additionnes tous les nombres entiers positifs, tu obtiens l’infini. C’est évident. C’est ce que n’importe quel élève de Seconde te dira, et il aura raison.

Et pourtant, il existe un sens mathématique précis dans lequel cette somme “vaut” -1/12. Pas au sens classique du terme. Mais au sens d’une technique appelée régularisation, qui attribue des valeurs finies à des sommes divergentes.

En janvier 1913, un employé de bureau de Madras, en Inde, envoie une lettre au mathématicien anglais G.H. Hardy, à Cambridge. La lettre contient onze pages et plus de cent vingt résultats mathématiques. Parmi eux, cette somme. L’employé s’appelle Srinivasa Ramanujan. Il n’a aucun diplôme en mathématiques. Il a tout découvert seul.

Hardy lit la lettre et la montre à son collègue Littlewood. Leur réaction : certains de ces résultats sont déjà connus, d’autres sont complètement nouveaux, et quelques-uns sont si étranges qu’ils ne peuvent avoir été inventés que par un génie ou un fou. Hardy invite Ramanujan à Cambridge. Le reste est l’une des plus grandes histoires de collaboration en mathématiques.

La somme 1 + 2 + 3 + … = -1/12 n’est pas une blague. Elle repose sur la continuation analytique de la fonction zêta de Riemann :

\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

Cette fonction converge pour $s > 1$ mais peut être prolongée à d’autres valeurs de $s$ . En $s = -1$ , cette continuation donne :

\displaystyle \zeta(-1) = -\frac{1}{12}

Ce résultat est utilisé en physique. En théorie des cordes, cette régularisation intervient dans le calcul qui détermine que l’univers des cordes bosoniques a exactement 26 dimensions. En physique quantique, elle apparait dans le calcul de l’effet Casimir, cette force mesurable qui attire deux plaques métalliques placées dans le vide.

Pour conclure

Ce que je regrette dans le programme scolaire, c’est qu’il n’a pas le temps de s’arrêter sur ces histoires. On apprend les logarithmes sans savoir qu’ils permettent de coincer des fraudeurs. On manipule des suites sans entendre parler de Ramanujan. On calcule des sommes sans jamais se demander ce qui se passe quand elles divergent.

La prochaine fois que quelqu’un te dit que les maths sont ennuyeuses, raconte-lui une de ces histoires. Tu verras sa réaction.