Trois mathématiciennes qui ont tout changé

Quand je demande à mes élèves de citer un mathématicien célèbre, j’obtiens toujours les mêmes noms : Pythagore, Thalès, Euler. Parfois Ramanujan, depuis que la vidéo sur 1+2+3+… = -1/12 a fait le tour de TikTok. Mais une mathématicienne ? Le silence est presque systématique.

Ce n’est pas que les élèves sont ignorants. C’est que le programme ne mentionne presque aucune femme. On parle du théorème de Gauss, des anneaux de Dedekind, de la conjecture de Fermat. On ne dit jamais que Sophie Germain a correspondu avec Gauss en se faisant passer pour un homme. On ne dit jamais que les “anneaux noethériens” portent le nom d’une femme qui n’avait pas le droit d’enseigner à l’université. On ne dit jamais que la première médaille Fields féminine a été décernée à une femme qui dessinait des formules sur le sol de sa cuisine pendant que sa fille de trois ans disait : “Maman fait encore de la peinture.”

Je vais te raconter trois histoires. Pas des résumés. Des histoires complètes, avec les mathématiques dedans. Parce que ces femmes ne méritent pas d’être réduites à des anecdotes inspirantes : elles ont produit des résultats que tu peux comprendre, vérifier, admirer.

Sophie Germain (1776-1831) : la mathématicienne qui n’existait pas

Une bibliothèque, une bougie, un père qui cède

Sophie Germain a treize ans quand la Révolution française éclate. Les rues de Paris sont dangereuses, et ses parents lui interdisent de sortir. Coincée chez elle, elle se réfugie dans la bibliothèque de son père, un riche marchand de soie. C’est là qu’elle tombe sur l’histoire d’Archimède : un mathématicien si absorbé par un problème de géométrie qu’il n’a pas entendu le soldat romain entrer chez lui. Le soldat l’a tué. Archimède est mort pour un cercle tracé dans le sable.

Sophie se dit qu’une discipline capable de captiver quelqu’un à ce point mérite qu’on s’y intéresse.

Elle commence à étudier les mathématiques seule, dans les livres de la bibliothèque familiale. Ses parents sont horrifiés. À l’époque, les mathématiques pour une femme, c’est impensable. Ils confisquent ses bougies pour l’empêcher de lire la nuit. Ils éteignent le feu de sa chambre pour la forcer à dormir. Elle enroule ses couvertures autour d’elle et travaille à la lueur de bougies cachées, dans un froid qui fait geler l’encre dans son récipient.

Son père finit par céder. Pas par conviction progressiste, mais parce qu’il comprend que rien ne l’arrêtera.

Monsieur LeBlanc

En 1794, l’École polytechnique ouvre à Paris. Les femmes n’y sont pas admises. Sophie obtient les notes de cours de Joseph-Louis Lagrange, l’un des plus grands mathématiciens vivants, par l’intermédiaire de connaissances. Elle étudie ces notes, rédige des solutions aux problèmes posés, et les envoie à Lagrange sous le pseudonyme d’Antoine-Auguste LeBlanc, un ancien élève qui a quitté l’école.

Lagrange est impressionné par la qualité du travail de “LeBlanc”. Il demande à le rencontrer. Sophie révèle sa véritable identité. La réaction de Lagrange est remarquable pour l’époque. Il continue à la soutenir et devient son mentor.

Quelques années plus tard, Sophie écrit à Carl Friedrich Gauss, alors le mathématicien le plus célèbre d’Europe, toujours sous le nom de LeBlanc. Elle lui envoie ses travaux sur la théorie des nombres. Gauss répond avec enthousiasme. Ce LeBlanc a des idées originales.

En 1807, les troupes de Napoléon envahissent Braunschweig, la ville de Gauss. Sophie, qui se souvient du sort d’Archimède, s’inquiète pour lui. Elle demande à un général français de sa connaissance, le général Pernety, d’assurer la protection de Gauss. Pernety s’exécute. Quand Gauss demande à Pernety qui est à l’origine de cette intervention, celui-ci répond : “Sophie Germain.” Gauss est stupéfait. Il n’a jamais entendu ce nom. LeBlanc est une femme ?

Il lui écrit une lettre qui vaut la peine d’être citée dans son esprit : quand une femme surmonte tous les obstacles que les coutumes et les préjugés placent sur son chemin pour pénétrer les recherches les plus épineuses de la théorie des nombres, elle a sans doute un courage extraordinaire et un talent supérieur.

Les mathématiques de Sophie Germain

Sophie Germain ne s’est pas contentée de correspondre avec des génies. Elle a produit des résultats originaux. Son travail le plus connu concerne le dernier théorème de Fermat, cette conjecture selon laquelle l’équation $x^n + y^n = z^n$ n’a aucune solution en nombres entiers positifs pour $n > 2$.

Germain a attaqué le problème de front. Elle a démontré que pour une catégorie entière de nombres premiers, ceux qu’on appelle aujourd’hui “premiers de Sophie Germain”, le théorème de Fermat est vrai sous certaines conditions. Un nombre premier $p$ est “de Sophie Germain” si $2p + 1$ est aussi premier.

Son théorème dit, en substance, que si $p$ est un premier de Sophie Germain et si $x^p + y^p = z^p$, alors $p$ divise l’un des trois nombres $x$, $y$ ou $z$. Ce résultat a ouvert la voie à ce qu’on appelle le “premier cas” du théorème de Fermat.

Son autre grande contribution concerne la théorie de l’élasticité. Napoléon avait assisté à une démonstration spectaculaire du physicien allemand Ernst Chladni. En faisant vibrer une plaque métallique saupoudrée de sable, on obtient des motifs géométriques complexes. Napoléon a lancé un prix pour quiconque fournirait une théorie mathématique de ce phénomène.

Sophie Germain a soumis trois mémoires. Le premier, en 1811, contenait une erreur dans les équations. Le deuxième, en 1813, corrigeait l’erreur mais présentait un raisonnement que le jury jugeait insuffisant. Le troisième, en 1816, a remporté le prix. Elle est la première femme à recevoir un prix de l’Académie des sciences de Paris.

Elle n’est pas venue le chercher. Le jury, composé exclusivement d’hommes, avait été si froid à son égard qu’elle a refusé d’assister à la cérémonie.

Sophie Germain est morte en 1831, d’un cancer du sein. Sur son certificat de décès, on a écrit “rentière”, pas “mathématicienne”. La préfecture ne savait pas que cette profession pouvait exister pour une femme.

Emmy Noether (1882-1935) : le génie qu’on refusait de payer

”Les toilettes ne posent pas de problème”

Emmy Noether est née à Erlangen, en Bavière, dans une famille de mathématiciens. Son père, Max Noether, est professeur de mathématiques à l’université d’Erlangen. Emmy obtient son doctorat en 1907, sous la direction de Paul Gordan. Sa thèse porte sur les invariants algébriques et contient un calcul exhaustif de 331 invariants d’une forme ternaire biquadratique. Elle qualifiera plus tard ce travail de “jungle de formules” et s’en éloignera complètement. Ce détail en dit long sur Noether. Elle était capable d’autocritique radicale, même sur ses propres succès.

En 1915, David Hilbert et Felix Klein, deux des plus grands mathématiciens du monde, invitent Noether à Göttingen, alors le centre mondial des mathématiques. Ils veulent qu’elle travaille sur les implications mathématiques de la relativité générale d’Einstein.

Sauf que Noether est une femme, et les statuts de l’université interdisent aux femmes d’enseigner. Hilbert essaie de lui obtenir un poste. La faculté de philosophie refuse. Un professeur d’histoire proteste : “Que penseront nos soldats quand ils reviendront du front et qu’on leur demandera de s’asseoir aux pieds d’une femme ?” Hilbert répond : “Je ne vois pas en quoi le sexe d’un candidat est un argument contre son admission. Après tout, nous sommes une université, pas un établissement de bains.”

Pendant huit ans, de 1915 à 1923, Noether enseigne officiellement sous le nom de Hilbert. Les cours sont annoncés comme “Cours du Professeur Hilbert, avec l’assistance de Mademoiselle Noether.” Elle n’est pas payée. Elle vit de la petite pension que lui envoie sa famille.

Le théorème qui a changé la physique

En 1918, Noether publie ce qui deviendra l’un des théorèmes les plus importants de la physique moderne. Le théorème de Noether établit une correspondance profonde entre symétries et lois de conservation. À chaque symétrie continue d’un système physique correspond une grandeur qui se conserve.

Si les lois de la physique ne changent pas quand tu te déplaces dans l’espace (invariance par translation), alors la quantité de mouvement est conservée. Si elles ne changent pas quand tu tournes sur toi-même (invariance par rotation), alors le moment cinétique est conservé. Si elles ne changent pas au cours du temps, alors l’énergie est conservée.

Ce théorème est d’une puissance extraordinaire. Il unifie des lois qu’on croyait indépendantes. Et il s’applique aussi à des symétries plus abstraites, comme les symétries de jauge, qui sont au fondement de la physique des particules. Sans le théorème de Noether, pas de modèle standard. Pas de boson de Higgs. Pas de compréhension moderne de l’univers.

L’algèbre réinventée

Mais Noether n’est pas seulement la mathématicienne d’un théorème de physique. Elle est surtout celle qui a refondé l’algèbre abstraite. Dans les années 1920, elle transforme la façon même dont les mathématiciens pensent les structures algébriques.

Les anneaux noethériens portent son nom. Un anneau est noethérien si toute suite croissante d’idéaux finit par se stabiliser. Formellement, ça s’écrit

Cette condition, qui semble technique, a des conséquences profondes. Elle garantit que les processus de décomposition s’arrêtent, que les calculs terminent, que les structures sont “finiment contrôlables”. Les anneaux d’entiers, les anneaux de polynômes, presque tous les objets que manipulent les mathématiciens sont noethériens. Quand tu factorises un polynôme en classe, tu utilises implicitement le fait que l’anneau des polynômes est noethérien.

L’exil et la fin

En 1933, les nazis arrivent au pouvoir. Emmy Noether est juive. Elle est renvoyée de l’université de Göttingen, comme tous les professeurs juifs. Elle émigre aux États-Unis et obtient un poste au Bryn Mawr College, une université pour femmes en Pennsylvanie.

Elle meurt le 14 avril 1935, à 53 ans, des suites d’une opération pour un kyste ovarien. Albert Einstein publie une lettre dans le New York Times : “Emmy Noether a été le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures.”

L’hommage d’Einstein a le mérite d’exister. Mais Noether n’avait pas besoin de la qualification “depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures.” Elle était un génie mathématique, point.

Maryam Mirzakhani (1977-2017) : la première

Les olympiades et les cahiers

Maryam Mirzakhani est née à Téhéran en 1977. Enfant, elle voulait être écrivaine. Les maths ne l’intéressaient pas particulièrement. Ce n’est qu’au lycée, dans une école pour filles surdouées de Téhéran, qu’elle commence à s’y passionner.

En 1994, à 17 ans, elle représente l’Iran aux Olympiades internationales de mathématiques. C’est la première année que l’Iran envoie une équipe féminine. Elle obtient la médaille d’or avec un score de 41 sur 42. L’année suivante, en 1995, elle revient aux Olympiades et obtient un score parfait : 42 sur 42.

Après des études à l’université Sharif de Téhéran, elle part faire son doctorat à Harvard, sous la direction de Curtis McMullen, lui-même médaillé Fields. Sa thèse est si remarquable que trois articles en sont tirés, publiés dans les meilleures revues mondiales. Elle résout un problème vieux de plusieurs décennies sur le comptage des géodésiques simples sur les surfaces hyperboliques.

Les surfaces de Mirzakhani

Pour comprendre le travail de Mirzakhani, il faut comprendre ce qu’est une surface hyperbolique.

Prends une sphère. C’est une surface de genre 0, sans trou. Un tore (un donut), c’est une surface de genre 1, avec un trou. Un double tore, c’est genre 2. Mirzakhani s’intéressait aux surfaces hyperboliques de genre 2 et plus, des surfaces où la géométrie n’est ni plate (comme une table) ni sphérique (comme un ballon), mais hyperbolique. Sur ces surfaces, les triangles ont une somme d’angles inférieure à 180°. Les droites divergent au lieu de rester parallèles.

Sur ces surfaces, Mirzakhani étudiait les géodésiques, ces plus courts chemins entre deux points. Sur une sphère, les géodésiques sont les grands cercles. Sur une surface hyperbolique de genre 2, elles peuvent s’enrouler de façon incroyablement complexe.

Sa thèse posait une question redoutable. Combien de géodésiques simples (qui ne se croisent pas elles-mêmes) existent sur une surface hyperbolique de genre $g$, dont la longueur est inférieure à $L$ ?

Mirzakhani a trouvé la réponse.

L’exposant $6g - 6$ n’est pas un hasard. C’est la dimension de l’espace des modules des surfaces hyperboliques de genre $g$, autrement dit le nombre de paramètres nécessaires pour décrire toutes les formes possibles d’une telle surface.

”Maman fait de la peinture”

Mirzakhani travaillait d’une façon que je trouve magnifique. Elle étalait d’immenses feuilles de papier sur le sol de son bureau ou de sa cuisine, et elle dessinait dessus pendant des heures. Des surfaces, des courbes, des diagrammes. Sa fille Anahita, qui avait trois ans, appelait ça “de la peinture”. L’image de cette mathématicienne à genoux sur le sol, dessinant des surfaces hyperboliques pendant que sa fille joue à côté, est pour moi l’une des plus belles représentations de ce que signifie faire des mathématiques.

En août 2014, Maryam Mirzakhani reçoit la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques. Elle est la première femme en 78 ans d’histoire de ce prix. Elle est aussi la première Iranienne.

Quand la presse lui demande ce que ça change, elle répond : “Ce n’est pas le genre de prix qui change votre vie. Je ne vais pas commencer à résoudre les problèmes plus vite parce que j’ai une médaille.”

En Iran, sa médaille Fields a provoqué quelque chose d’inattendu. Les journaux iraniens ont publié sa photo. Sans hijab. C’est la première fois depuis la révolution de 1979 qu’un journal iranien publie la photo d’une femme tête nue. La fierté nationale a pris le dessus sur les conventions.

La fin et l’héritage

En 2013, Mirzakhani est diagnostiquée d’un cancer du sein. Elle continue à travailler. En 2016, le cancer se propage aux os et au cerveau. Elle meurt le 14 juillet 2017, à 40 ans.

1776 : naissance de Sophie Germain

Paris, France. Apprend les mathématiques seule dans la bibliothèque de son père, en cachette, pendant la Révolution. Correspondra avec Gauss sous un faux nom pendant des années.

1831 : mort de Germain

Son certificat de décès porte la mention « rentière ». Pas « mathématicienne ». Gauss avait recommandé qu'on lui décerne un doctorat honorifique. Elle est morte avant de le recevoir.

1882 : naissance d'Emmy Noether

Erlangen, Bavière. Fille du mathématicien Max Noether. Obtiendra son doctorat en 1907 mais n'aura le droit d'enseigner sous son propre nom qu'à partir de 1923.

1918 : le théorème de Noether

Publication du théorème qui lie symétries et lois de conservation. Noether n'est toujours pas payée par l'université de Göttingen. Elle enseigne sous le nom de Hilbert.

1935 : mort de Noether

Exilée aux États-Unis après l'arrivée des nazis, elle meurt à 53 ans. Einstein écrit dans le New York Times qu'elle est le plus grand génie mathématique créatif depuis que les femmes ont eu accès aux études.

1977 : naissance de Maryam Mirzakhani

Téhéran, Iran. Voulait être écrivaine. Deux médailles d'or aux olympiades internationales de mathématiques (1994, 1995), dont un score parfait de 42/42.

2014 : médaille Fields

Première femme à recevoir la médaille Fields en 78 ans d'histoire du prix. Première Iranienne. Les journaux iraniens publient sa photo sans hijab pour la première fois depuis 1979.

2017 : mort de Mirzakhani

Cancer du sein à 40 ans. L'Iran décrète une journée de deuil national. Le président Rohani publie sa photo sans hijab, une première pour un chef d'État iranien.

Je m’en souviens très bien. J’étais étudiant dans un département de mathématiques quand la nouvelle est tombée. La tristesse était lourde, palpable dans les couloirs. Un de mes professeurs, qui l’avait connue personnellement, a annulé son cours ce jour-là. Il n’a rien expliqué. Il a juste dit « Maryam Mirzakhani est morte », et personne n’a demandé de précision. Son nom, dans un département de maths, suffisait. Elle n’est peut-être pas célèbre en dehors de notre monde, mais ce jour-là, tout le monde savait qui on venait de perdre.

L’Iran a décrété une journée de deuil national. Le président Rohani a publié un communiqué avec sa photo, toujours sans hijab. Depuis 2019, l’Union mathématique internationale a désigné le 12 mai, date d’anniversaire de Mirzakhani, comme Journée internationale des femmes en mathématiques.

Ce que ces trois histoires racontent

Je pourrais conclure en disant que ces trois femmes ont “ouvert des portes” et “brisé des plafonds de verre”. Ce serait vrai, mais ça serait les réduire à leur genre. Et c’est précisément ce que chacune d’entre elles aurait détesté.

Ce qui me frappe dans ces trois histoires, c’est que les mathématiques ont survécu. Germain n’avait pas de professeur, pas de diplôme, pas de droit d’entrée à l’École polytechnique. Elle a fait des maths quand même, et ses nombres premiers sont toujours étudiés. Noether n’avait pas de salaire, pas de titre, pas de reconnaissance officielle pendant huit ans. Elle a refondé l’algèbre quand même, et chaque physicien utilise son théorème. Mirzakhani dessinait des géodésiques sur le sol de sa cuisine, et ses résultats sur les espaces de modules sont parmi les plus profonds de la géométrie moderne.

Quand un élève me dit qu’il ne peut pas faire de maths parce que les conditions ne sont pas réunies, je pense à Sophie Germain qui travaillait à la lueur d’une bougie cachée, les doigts gelés, dans une chambre sans chauffage. Les conditions ne sont jamais réunies. On fait des maths quand même.