Comment un retraité a résolu un problème vieux de 50 ans
David Smith et la quête de la tuile parfaite
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Novembre 2022. David Smith, 64 ans, est assis devant son ordinateur dans sa maison du Yorkshire, en Angleterre. Technicien en imprimerie à la retraite, il passe ses journées à jouer avec des formes géométriques. C’est son hobby depuis des années. Il découpe des polygones, les assemble, cherche des motifs intéressants.
Ce jour-là, il tombe sur une forme à 13 côtés qui l’intrigue. Quand il essaie de paver une surface avec, quelque chose d’étrange se produit : le motif ne se répète jamais. Il recommence. Même résultat. Il agrandit la surface. Toujours pas de répétition.
David Smith vient peut-être de résoudre un problème ouvert depuis 50 ans.
Le problème einstein
Le nom n’a rien à voir avec Albert Einstein. “Ein stein” signifie “une pierre” en allemand. Le problème einstein, c’est la question suivante : existe-t-il une forme unique capable de paver le plan de façon apériodique ?
Un pavage apériodique, c’est un pavage qui ne se répète jamais. Aucune translation ne peut superposer le motif sur lui-même. Les pavages de Penrose, découverts en 1974, sont apériodiques. Mais ils utilisent deux tuiles différentes.
Depuis Penrose, une question obsède les mathématiciens : peut-on faire la même chose avec une seule tuile ? Une forme tellement spéciale qu’elle ne peut paver le plan QUE de façon apériodique ?
Cinquante ans de recherche
Après Penrose, la communauté des pavages a cherché ce graal pendant près de 50 ans. Certains ont cru l’avoir trouvé, pour découvrir ensuite que leur forme permettait aussi des pavages périodiques. D’autres ont proposé des tuiles qui ne pavaient pas vraiment le plan entier.
Le problème semblait peut-être insoluble. Ou alors la réponse était non : peut-être qu’aucune tuile unique ne pouvait forcer l’apériodicité.
Réduit le nombre de tuiles apériodiques à 2. Le cerf-volant et la fléchette. Tout le monde se demande : peut-on descendre à 1 ?
Des dizaines de candidats proposés. Tous échouent : soit ils permettent des pavages périodiques, soit ils ne pavent pas le plan entier.
Un hexagone avec des marquages imposant des règles d'appariement non locales (jusqu'aux voisins de voisins), ou une tuile non connexe sans les marquages. Ce n'est pas une tuile géométrique pure.
Un retraité du Yorkshire découvre une forme à 13 côtés qui semble fonctionner. Il contacte un mathématicien pour vérifier.
L’email qui a tout changé
Quand David Smith a découvert sa forme, il ne savait pas s’il avait trouvé quelque chose d’important ou s’il avait fait une erreur. Il a décidé de contacter Craig Kaplan, informaticien et mathématicien à l’université de Waterloo, au Canada, connu pour son travail sur les pavages.
L’email de Smith était modeste. Il expliquait qu’il avait trouvé une forme intéressante et demandait si Kaplan pouvait y jeter un œil. Kaplan a regardé. Et il a compris que Smith avait peut-être trouvé la tuile einstein.
Kaplan a contacté deux autres spécialistes : Joseph Samuel Myers, ingénieur logiciel à Cambridge, docteur en combinatoire et passionné de pavages de polyformes depuis les années 1990, et Chaim Goodman-Strauss, expert en pavages, alors professeur à l’université de l’Arkansas et aujourd’hui mathématicien de médiation au National Museum of Mathematics (MoMath) à New York. Ensemble, ils ont commencé à travailler sur une preuve rigoureuse.
Le chapeau
La forme de Smith ressemble vaguement à un chapeau ou à un t-shirt. Elle a 13 côtés : six de longueur 1, six de longueur √3, et un de longueur 2. L’équipe l’a baptisée “the hat” : le chapeau.
La preuve que le chapeau est bien une tuile einstein a pris plusieurs mois. Elle combine des arguments géométriques, de la théorie des graphes et des vérifications par ordinateur. Le résultat a été publié en mars 2023.
Le spectre : la vraie solution
L’équipe ne s’est pas arrêtée là. Ils se sont demandé : peut-on trouver une tuile qui pave le plan de façon apériodique SANS utiliser de miroir ?
En mai 2023, deux mois après la publication du chapeau, ils ont annoncé avoir trouvé la réponse. Une nouvelle forme, appelée “le spectre” (ou “vampire”, parce qu’elle n’a pas de reflet), pave le plan de façon apériodique en utilisant uniquement des copies de la tuile, sans jamais recourir à l’image miroir.
Le problème einstein était complètement résolu. Une seule forme, sans miroir, qui ne peut paver le plan que de façon apériodique.
Ce que ça dit des mathématiques
L’histoire de David Smith est remarquable pour plusieurs raisons.
D’abord, elle montre que les mathématiques ne sont pas réservées aux professionnels. Smith n’avait aucun diplôme en mathématiques. Il avait de la curiosité, de la patience, et un œil pour les formes. C’est ce qui lui a permis de voir ce que des centaines de mathématiciens avaient cherché pendant des décennies.
Ensuite, elle illustre la collaboration entre intuition et rigueur. Smith a trouvé la forme par exploration visuelle, en jouant avec des polygones. Mais pour prouver que cette forme était vraiment une tuile einstein, il a fallu des mois de travail mathématique rigoureux par une équipe de spécialistes.
La réception
Quand l’article sur le chapeau a été publié en mars 2023, la communauté mathématique a réagi avec enthousiasme. Les journaux du monde entier ont repris l’histoire. Un retraité britannique qui résout un problème vieux de 50 ans, c’est le genre d’histoire que les médias adorent.
Mais au-delà du buzz médiatique, la découverte a des implications profondes. Elle ferme un chapitre de l’histoire des pavages. Elle ouvre de nouvelles questions : combien d’autres tuiles einstein existent ? Peut-on les classifier ? Ont-elles des applications pratiques ? Pour un exemple d’application déjà prouvée par Nobel, va voir l’histoire des quasi-cristaux de Dan Shechtman, où la symétrie d’ordre 5 des pavages de Penrose est apparue dans la matière réelle.
Le plan pour ton grand oral
Si tu choisis cet angle pour ton grand oral, voici comment structurer ta présentation.
Novembre 2022, Yorkshire, un retraité découpe des formes sur son ordinateur. Il trouve quelque chose d'étrange.
Définition : une tuile unique qui ne pave le plan QUE de façon apériodique. Pourquoi c'est difficile.
Penrose 1974 : 2 tuiles. 50 ans de recherche infructueuse. Pourquoi personne n'avait trouvé.
Le chapeau : 13 côtés, mars 2023. Collaboration Smith-Kaplan-Myers-Goodman-Strauss.
Mai 2023 : résolution complète. Une tuile sans miroir. Preuve assistée par ordinateur.
Les maths sont vivantes. Collaboration amateur/pro. Questions ouvertes pour l'avenir.
Ta checklist
Vérifie que tu maitrises
- Tu connais l'histoire de David Smith (qui, quand, comment)
- Tu sais définir le problème einstein (ein stein = une pierre)
- Tu sais expliquer la différence avec les tuiles de Penrose (1 tuile vs 2)
- Tu connais la chronologie : Penrose 1974, chapeau mars 2023, spectre mai 2023
- Tu sais expliquer le problème du miroir et pourquoi le spectre le résout
- Tu peux citer les quatre auteurs de la découverte
- Tu sais ce qu'est un pavage apériodique (définition rigoureuse)
- Tu as préparé une réponse si le jury te demande des détails sur la preuve
Pour conclure
L’histoire de la tuile einstein montre que les grandes découvertes ne viennent pas toujours des endroits attendus. Un technicien à la retraite, armé de curiosité et de patience, a trouvé ce que des mathématiciens professionnels cherchaient depuis 50 ans.
Si tu choisis cet angle pour ton grand oral, tu auras une histoire captivante à raconter. Mais n’oublie pas : le jury veut aussi des maths. Assure-toi de pouvoir expliquer les concepts derrière l’histoire.
Sources
- Smith, D., Myers, J.S., Kaplan, C.S., Goodman-Strauss, C. (2023). “An aperiodic monotile”. arXiv:2303.10798.
- Smith, D. et al. (2023). “A chiral aperiodic monotile”. arXiv:2305.17743.
- Klarreich, E. (4 avril 2023). “Hobbyist Finds Math’s Elusive ‘Einstein’ Tile”. Quanta Magazine.
- Roberts, S. (28 mars 2023). “Elusive ‘Einstein’ Solves a Longstanding Math Problem”. The New York Times.
- Accromath (2024). “Enfin une tuile einstein !”. Vol. 19.2, UQAM.