Les tournesols ne connaissent pas le nombre d'or

En 2012, pour le centenaire de la naissance d’Alan Turing, le Musée des sciences et de l’industrie de Manchester invite le public à faire pousser des tournesols, à les photographier et à compter leurs spirales. Quatre ans plus tard, Jonathan Swinton et Erinma Ochu publient l’analyse de 657 têtes de tournesol. Sur les 768 comptages jugés fiables, 565 tombent sur un nombre de Fibonacci.

C’est beaucoup, environ trois sur quatre, et ça confirme que le motif est bien réel. Mais ça veut aussi dire qu’un comptage sur quatre n’est pas un nombre de Fibonacci. Si la nature « aimait » le nombre d’or, comme on le lit partout, pourquoi un comptage sur quatre lui échapperait ?

Je pense que le sujet « Fibonacci dans la nature » est l’un des plus mal traités au Grand oral, précisément parce qu’il se contente de la moitié de cette histoire. On montre un tournesol, un ananas, une coquille de nautile, on dit que la nature suit le nombre d’or, et on s’arrête là. L’autre moitié, c’est d’expliquer pourquoi un angle bien précis fabrique ces nombres, et comment une expérience de physique de 1992 a montré qu’une plante n’a pas besoin de « connaître » le nombre d’or pour le produire.

Compter des spirales

Regarde le cœur d’un tournesol mûr. Ton œil y suit tout de suite des spirales qui partent du centre, les unes dans le sens des aiguilles d’une montre, les autres dans le sens inverse.

Ces spirales s’appellent des parastiches. Une parastiche, c’est la courbe qu’on obtient en passant d’une graine à l’une de ses voisines les plus proches, toujours dans la même direction. Comme chaque graine a des voisines de plusieurs côtés, on voit en général deux familles de parastiches qui se croisent, une dans chaque sens de rotation.

Compter les parastiches, c’est compter combien de spirales de chaque famille on peut tracer sur la tête. Sur une pomme de pin comme sur un ananas, on trouve souvent $8$ et $13$, et sur un grand tournesol plutôt $34$ et $55$, voire $55$ et $89$. Tous ces nombres sont des termes de la suite de Fibonacci, définie par :

Ses premiers termes sont $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89$. Et les deux nombres qu’on compte sont le plus souvent deux termes consécutifs de la suite. Si tu veux voir cette suite sous un autre angle, j’en parle aussi dans l’article sur le théorème de Zeckendorf.

Le fait est bien établi, mais il ne dit rien de l’origine de ces nombres.

Poser les graines une par une

Chez la plante, les nouvelles graines, ou plus généralement les nouveaux organes (feuilles, écailles, fleurons), apparaissent une par une au centre, puis celles qui arrivent après les poussent vers l’extérieur.

On traduit ça en maths avec deux ingrédients. Le premier est l’angle de divergence, l’angle dont tourne chaque nouvelle graine par rapport à la précédente. On le note $\alpha$, et c’est le même pour toutes les graines. Le second est la distance au centre, qui augmente avec l’âge de la graine.

Le modèle le plus simple est celui de Helmut Vogel, publié en 1979. Soit $\alpha$ un angle compris strictement entre $0°$ et $360°$, et soit $c > 0$ une constante qui fixe l’échelle du dessin. Pour tout entier $n \geq 0$, la graine numéro $n$ est placée à la distance $r_n$ du centre, dans la direction $\theta_n$ :

Pourquoi une racine carrée ? On veut que les graines soient réparties avec une densité à peu près constante. Le disque de rayon $r_n$ contient les graines numérotées de $0$ à $n$, soit environ $n$ graines, et son aire vaut $\pi r_n^2$. Pour une densité constante, il faut donc une constante $k > 0$ telle que :

C’est bien la forme $r_n = c\sqrt{n}$, avec $c = \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$.

Tout le motif dépend donc d’un seul nombre, l’angle $\alpha$. Essaie plusieurs valeurs dans le simulateur ci-dessous, et commence par les angles proposés.

Avec $90°$, tu obtiens une croix, avec $120°$ trois branches et avec $135°$ huit. Entre $137°$ et $138°$, en revanche, un demi-degré d’écart suffit à faire apparaître ou disparaître des rayons, et c’est autour de $137{,}5°$ que les graines remplissent le disque le plus régulièrement. Qu’est-ce que cet angle a de si particulier ?

Pourquoi un angle « simple » fait des rayons

Je commence par les angles qui ratent, parce qu’on peut les comprendre jusqu’au bout. On dit qu’un angle $\alpha$ est rationnel s’il existe deux entiers $p$ et $q$, avec $q \geq 1$ et $p$, $q$ premiers entre eux, tels que :

Par exemple, $90°$ correspond à $\dfrac{1}{4}$ de tour, $120°$ à $\dfrac{1}{3}$ et $135°$ à $\dfrac{3}{8}$.

Dans ce cas, pour tout entier $n \geq 0$, la graine $n + q$ est exactement dans la même direction que la graine $n$, puisque :

La différence est un nombre entier de tours. La direction de la graine $n$ ne dépend donc que du reste de la division de $n$ par $q$ : toutes les graines se rangent sur au plus $q$ demi-droites issues du centre.

Dès qu’il y a au moins $q$ graines, il y en a même exactement $q$. Soient $k$ et $k'$ deux entiers compris entre $0$ et $q - 1$, et suppose que les graines $k$ et $k'$ soient dans la même direction. Leur écart angulaire est alors un nombre entier de tours :

Donc $(k - k')\,\dfrac{p}{q}$ est un entier, autrement dit $q$ divise $(k - k')\,p$. Comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss, vu en maths expertes, donne que $q$ divise $k - k'$. Or $|k - k'| \leq q - 1$, donc $k = k'$ : deux restes différents donnent bien deux directions différentes.

Avec $\dfrac{3}{8}$ de tour, tu obtiens donc exactement $8$ rayons, séparés par de grands vides : c’est le contraire d’un bon remplissage. Et une plante qui placerait ses feuilles de cette façon ferait de l’ombre à ses propres feuilles, toutes alignées les unes au-dessus des autres.

Même $137{,}5°$ pile est un angle rationnel :

Avec cet angle, le modèle finit donc par dessiner $144$ rayons. Tu ne les vois pas avec quelques centaines de graines, parce qu’il en faudrait beaucoup plus pour remplir chaque rayon. Monte le nombre de graines à $1500$ dans le simulateur et regarde le bord : avec $137{,}5°$, les rangées filent droit vers le centre, alors qu’avec $137{,}508°$, que tu peux taper dans le champ, elles s’inclinent légèrement. Garde en tête ces deux nombres, $55$ et $144$ : ce sont des termes de la suite de Fibonacci, et tu vas voir pourquoi.

Et si $\dfrac{\alpha}{360°}$ est irrationnel ? Alors deux graines différentes ne sont jamais dans la même direction. Si c’était le cas pour deux entiers $n > m \geq 0$, leurs directions différeraient d’un nombre entier $k$ de tours, et on aurait :

ce qui est un nombre rationnel. Ça ne suffit pas pour autant à éviter les rayons : un angle irrationnel très proche d’une fraction simple de tour se comporte presque comme elle, et dessine presque des rayons. Ce qu’il faut, c’est un angle difficile à approcher par des fractions.

Le nombre le plus difficile à approcher

Le nombre d’or est le nombre réel

C’est la solution positive de l’équation $x^2 = x + 1$, donc il vérifie $\varphi^2 = \varphi + 1$. En divisant les deux membres par $\varphi$, qui n’est pas nul, on obtient :

On peut alors remplacer le $\varphi$ du dénominateur par $1 + \dfrac{1}{\varphi}$, puis recommencer, encore et encore :

Une écriture de ce type s’appelle une fraction continue. Tout nombre réel en possède une, finie ou infinie, de la forme :

où $a_0$ est un entier et où $a_1, a_2, \dots$ sont des entiers strictement positifs. Si on coupe la fraction continue après un certain étage, on obtient une fraction ordinaire, qu’on appelle une réduite. Les réduites font partie des meilleures approximations d’un nombre par des fractions, compte tenu de la taille du dénominateur.

Pour le nombre d’or, tous les $a_k$ valent $1$. Ses réduites sont donc les nombres $c_n$ définis par :

On calcule les premières : $c_1 = 2$, $c_2 = \dfrac{3}{2}$, $c_3 = \dfrac{5}{3}$, $c_4 = \dfrac{8}{5}$. Regarde les numérateurs et les dénominateurs : ça ne te rappelle rien ?

Propriété. Pour tout entier $n \geq 0$, on a $c_n = \dfrac{F_{n+2}}{F_{n+1}}$.

Démonstration. Pour tout entier $n \geq 0$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $c_n = \dfrac{F_{n+2}}{F_{n+1}}$ ».

Initialisation. On a $c_0 = 1$ et $\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{1}{1} = 1$, donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \geq 0$ un entier tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. Alors :

La dernière égalité, c’est la relation de récurrence de la suite de Fibonacci. Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie, et la propriété est démontrée pour tout entier $n \geq 0$.

Les meilleures approximations du nombre d’or par des fractions sont donc les quotients de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci. Voilà Fibonacci qui sort des calculs, sans que personne l’ait mis à la main.

Pourquoi le plus difficile à approcher ? Dans une fraction continue, un grand $a_k$ signale une excellente approximation : couper juste avant lui donne une fraction très proche du nombre. Par exemple, la fraction continue de $\pi$ commence ainsi :

En coupant juste avant le $292$, on obtient $\dfrac{355}{113}$, qui approche $\pi$ à six décimales près. Le nombre d’or, avec uniquement des $1$, est le cas le plus défavorable. Le mathématicien allemand Adolf Hurwitz l’a rendu précis en 1891.

Théorème de Hurwitz (admis). Pour tout nombre irrationnel $x$, il existe une infinité de fractions $\dfrac{p}{q}$, avec $p$ entier et $q \geq 1$ entier, telles que :

De plus, on ne peut pas remplacer $\sqrt{5}$ par une constante plus grande : pour $x = \varphi$, l’inégalité obtenue ne serait plus vraie que pour un nombre fini de fractions.

Autrement dit, pour n’importe quel irrationnel, on trouve toujours une infinité de fractions à moins de $\dfrac{1}{\sqrt{5}\,q^2}$, et pour le nombre d’or, on ne peut rien garantir de mieux. Il partage ce record avec tous les nombres dont la fraction continue finit par une suite de $1$. On le démontre avec les fractions continues, mais la preuve dépasse ce qu’on peut faire tranquillement au lycée : au Grand oral, tu l’admets en le disant.

L’angle d’or est la fraction $\dfrac{1}{\varphi^2}$ d’un tour :

Comme $\varphi = 1 + \dfrac{1}{\varphi}$, on a $\dfrac{1}{\varphi} = \varphi - 1$, et en élevant au carré, puis en utilisant $\varphi^2 = \varphi + 1$ :

Approcher $\dfrac{1}{\varphi^2}$ par des fractions revient donc exactement à approcher $\varphi$, à un entier près. L’angle d’or hérite de la propriété du nombre d’or : il fait partie des angles les plus difficiles à approcher par des fractions de tour. Ses réduites, à partir de $\dfrac{1}{3}$, sont elles aussi des quotients de nombres de Fibonacci :

Tu croises au passage $\dfrac{55}{144}$, c’est-à-dire $137{,}5°$ pile.

Soit $q \geq 1$ un entier tel que $q\,\alpha$ soit très proche d’un nombre entier de tours. Alors, pour tout entier $n \geq 0$, la graine $n + q$ est presque dans la même direction que la graine $n$, et un peu plus loin du centre. Si cet écart vers l’extérieur est du même ordre que l’espacement entre les graines, elles paraissent voisines à l’œil, et la chaîne des graines $n$, $n + q$, $n + 2q$, et ainsi de suite, dessine une spirale. En faisant varier $n$ de $0$ à $q - 1$, on obtient $q$ spirales de ce type : une famille de $q$ parastiches.

Cette explication reste heuristique, mais elle dit l’essentiel. Les familles qu’on voit sont celles dont le nombre $q$ est le dénominateur d’une bonne approximation de l’angle, et avec l’angle d’or, ces dénominateurs sont les nombres de Fibonacci. Deux réduites consécutives approchent l’angle l’une par excès, l’autre par défaut : les deux familles correspondantes tournent donc en sens opposés. Près du centre, un tour ne contient que quelques graines, et ce sont les petits nombres ($8$, $13$) qui ressortent. Vers le bord, le cercle est plus grand, un tour contient beaucoup plus de graines, et ce sont les grands ($34$, $55$, $89$). Voilà pourquoi, dans ce modèle, on compte deux nombres de Fibonacci consécutifs, et pourquoi ils grandissent avec la taille de la tête.

Le simulateur ci-dessous peut faire ressortir une famille de $13$, $21$, $34$ ou $55$ spirales : les graines d’une même spirale prennent la même couleur, et deux spirales voisines des couleurs différentes. Choisis l’angle d’or, puis essaie les colorations.

Angle ° Graines

Tester : 90°120°135°137°137,5°138° angle d'or

Colorer : aucune 13 spirales21 spirales34 spirales55 spirales

Rien de tout ça n’explique pourquoi une plante adopterait cet angle-là.

Douady et Couder : la plante ne calcule rien

L’angle de $137{,}5°$ n’est pas une découverte récente. Kepler rapprochait déjà, en 1611, les nombres de Fibonacci de la forme des fleurs, et l’étude systématique de la disposition des feuilles commence dans les années 1830 avec les botanistes allemands Karl Schimper et Alexander Braun. En 1837, les frères Louis et Auguste Bravais, l’un botaniste et l’autre futur cristallographe, publient à leur tour une étude où ils relèvent des angles très proches de cette valeur. Mais constater un angle ne dit pas d’où il vient. En 1868, le botaniste allemand Wilhelm Hofmeister propose une règle de croissance simple : chaque nouvel organe apparaît, au sommet de la tige, à l’endroit où il reste le plus de place entre les organes déjà formés, puis il s’éloigne à mesure que la plante grandit.

Pendant plus d’un siècle, personne ne montre de façon convaincante, expérience à l’appui, que cette règle suffit à produire l’angle d’or. En 1992, deux physiciens du laboratoire de physique statistique de l’École normale supérieure, Stéphane Douady et Yves Couder, la mettent à l’épreuve avec une expérience de laboratoire.

Ils remplissent une coupelle d’huile de silicone et la placent dans un champ magnétique. Au centre, des gouttes de ferrofluide, un liquide qui se comporte comme un aimant, tombent une par une, à intervalle régulier. Les gouttes s’aimantent et se repoussent les unes les autres, et le champ magnétique les fait dériver vers le bord de la coupelle. Chaque nouvelle goutte arrive donc au centre au milieu des précédentes, et se place là où elle est le moins repoussée : c’est exactement la règle de Hofmeister, sans aucune biologie.

Le comportement du système ne dépend que d’un seul paramètre, noté $G$. Si on note $V_0$ la vitesse des gouttes quand elles quittent la zone centrale, $T$ le temps entre deux gouttes et $R_0$ le rayon de la zone centrale où elles apparaissent, ce paramètre vaut :

Il compare la distance parcourue par une goutte pendant une période à la taille de la zone centrale. Quand $G$ est grand, chaque goutte a le temps de partir loin avant l’arrivée de la suivante. Quand $G$ est petit, les gouttes s’accumulent près du centre et se gênent beaucoup.

Le simulateur ci-dessous reproduit une version simplifiée de cette règle. À chaque étape, tous les éléments s’éloignent du centre, puis un nouvel élément apparaît sur le cercle central, à l’endroit où la répulsion des autres est la plus faible. Commence en mode « G fixe » avec $G = 0{,}5$, puis essaie $G = 1$. Passe ensuite en mode « G diminue lentement ». La coupelle, à gauche, ne montre que les derniers éléments : l’essentiel se lit sur la courbe, à droite.

Avec un $G$ grand, les éléments alternent à $180°$, comme les feuilles d’une tige de maïs, disposées de part et d’autre. Avec $G = 0{,}5$ fixe, l’angle oscille quelques fois avant de se stabiliser vers $137{,}6°$. En mode « G diminue lentement », il quitte brusquement $180°$ quand $G$ passe sous $0{,}8$ environ, descend jusqu’aux environs de $137{,}5°$, puis reste dans cette zone, entre $136{,}5°$ et $140{,}5°$ environ. Personne n’a programmé cet angle dans le calcul : la ligne pointillée sert seulement de repère, et l’angle sort tout seul de la répulsion.

Douady et Couder ont observé la même chose dans la coupelle, et l’ont confirmé par le calcul. Ils montrent aussi que, selon les conditions de départ, le système peut se fixer sur une autre branche, dont l’angle tend vers $99{,}5°$ quand $G$ devient très petit. Sur cette branche, les spirales qu’on compte suivent une autre suite, celle des nombres de Lucas, définie par :

Elle commence par $1, 3, 4, 7, 11, 18, 29$. Dans le simulateur, en mode « G fixe », règle $G$ autour de $0{,}15$ : l’angle se fixe vers $101°$, sur cette branche. Et l’angle de $99{,}5°$ est exactement aussi difficile à approcher par des fractions que l’angle d’or, puisque sa fraction continue finit elle aussi par une suite de $1$.

Voilà pourquoi je dis que les tournesols ne connaissent pas le nombre d’or. La plante n’a pas besoin de mesurer un angle ni de calculer une fraction continue. Elle applique une règle locale, faire pousser le nouvel organe là où il y a de la place, et l’angle d’or émerge de cette règle quand la croissance se déroule dans les bonnes conditions.

Ce que tu entends partout, et ce qui est vrai

Si tu choisis ce sujet, tu vas passer une bonne partie de ton oral à corriger des phrases toutes faites. Les plus fréquentes sont dans le tableau, avec ce qu’il faut dire à la place.

Ce qu’on entend partout	Ce qui est vrai
« La nature suit le nombre d’or. »	Environ trois comptages de tournesol sur quatre sont des nombres de Fibonacci (Swinton et Ochu, 2016). Le motif est fréquent, pas universel.
« La plante choisit l’angle d’or parce qu’il est optimal. »	L’angle émerge d’une règle de croissance locale, sans calcul ni choix (Douady et Couder, 1992).
« Il est démontré que 137,5° est le meilleur angle. »	Ce qui est démontré, c’est que le nombre d’or fait partie des nombres les plus mal approchés par des fractions (Hurwitz, 1891). Le lien avec le remplissage du disque passe par un modèle.
« La coquille du nautile est une spirale d’or. »	Une spirale d’or est une spirale dont le rayon est multiplié par $\varphi$ à chaque quart de tour, donc par $\varphi^4 \approx 6{,}85$ à chaque tour. La coquille du nautile grandit d’un facteur proche de $3$ par tour (Falbo, 2005).
« Fibonacci a découvert ces spirales. »	Fibonacci posait un problème de lapins dans son Liber abaci, en 1202. Kepler fait le rapprochement avec les fleurs en 1611, et l’étude botanique systématique commence dans les années 1830 (Schimper, Braun, Bravais).

Ce tableau peut structurer tout ton exposé. Tu pars du mythe, tu montres l’observation réelle avec ses limites, tu démontres pourquoi un angle rationnel échoue et pourquoi les réduites de $\varphi$ sont des quotients de Fibonacci, puis tu racontes l’expérience de Douady et Couder comme la réponse à la question « comment la plante fait-elle ? ».

Pendant l’échange, le jury cherchera presque sûrement à te pousser sur l’une des lignes du tableau. Prépare au moins une réponse précise pour chacune : c’est là que tu montres que tu as compris ton sujet au lieu de l’avoir récité.

Côté programme, tu restes en terrain connu : les suites définies par récurrence, le raisonnement par récurrence, les nombres rationnels et irrationnels, le repérage d’un point par une distance et un angle, et un peu d’algorithmique si tu veux programmer le modèle de Vogel en Python. Le théorème de Gauss est au programme de maths expertes, et le théorème de Hurwitz se présente comme un résultat admis.

Ce qu’on ne sait pas encore

Revenons aux tournesols de Manchester. Parmi les comptages qui n’étaient pas des nombres de Fibonacci, certains appartenaient à des suites voisines, comme celle des nombres de Lucas que la coupelle de Douady et Couder produit aussi. D’autres tombaient juste à côté d’un nombre de Fibonacci, et les chercheurs ont remarqué que les comptages d’une unité en dessous, comme $54$ au lieu de $55$, étaient nettement plus fréquents que ceux d’une unité au-dessus. Quelques têtes, enfin, étaient trop irrégulières pour qu’on y compte des spirales nettes.

Aucun modèle actuel n’explique toute cette diversité, et c’est pour moi ce qui fait l’intérêt du sujet. Alan Turing s’y intéressait déjà : il travaillait sur la phyllotaxie dans les dernières années de sa vie, avant sa mort en 1954, et ses notes sur le sujet n’ont été publiées qu’en 1992, dans ses œuvres complètes. L’expérience participative lancée en 2012 lui rendait hommage, et cherchait à tester une idée qu’il n’avait pas eu le temps de vérifier.

Si tu cherches une fin pour ton exposé, elle est là : les maths expliquent très bien pourquoi l’angle d’or apparaît, et elles laissent ouverte une question : pourquoi, parfois, il n’apparaît pas.

Pour d’autres façons d’aborder Fibonacci, tu peux lire l’article qui présente toute la série, l’article sur le théorème de Lamé et l’article sur le théorème de Zeckendorf. Tous les autres sujets sont rassemblés sur la page Grand oral.

Sources

• Douady, S. et Couder, Y. (1992). Phyllotaxis as a physical self-organized growth process. Physical Review Letters, 68(13), pp. 2098-2101.
• Douady, S. et Couder, Y. (1996). Phyllotaxis as a dynamical self organizing process, parties I, II et III. Journal of Theoretical Biology, 178, pp. 255-312.
• Swinton, J., Ochu, E. et MSI Turing’s Sunflower Consortium (2016). Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower: results of a citizen science experiment. Royal Society Open Science, 3(5), article 160091.
• Vogel, H. (1979). A better way to construct the sunflower head. Mathematical Biosciences, 44(3-4), pp. 179-189.
• Bravais, L. et Bravais, A. (1837). Essai sur la disposition des feuilles curvisériées. Annales des sciences naturelles, Botanique, 2e série, tome 7.
• Hofmeister, W. (1868). Allgemeine Morphologie der Gewächse. Leipzig, Engelmann.
• Hurwitz, A. (1891). Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche. Mathematische Annalen, 39, pp. 279-284.
• Turing, A. M. (1992). Morphogenesis, Collected Works of A. M. Turing, vol. 3, édité par P. T. Saunders. North-Holland.
• Falbo, C. (2005). The Golden Ratio: A Contrary Viewpoint. The College Mathematics Journal, 36(2), pp. 123-134.