Recruter ceux qui aiment chercher : les coulisses du concours du Programme Lang

Le Programme Lang est un parcours d’excellence en mathématiques dont j’ai la responsabilité au lycée Notre-Dame de Boulogne. Il se déroule sur deux ans, en première puis en terminale, et réunit des élèves curieux, prêts à aller bien au-delà du programme et à se confronter à la vraie recherche. Chaque année, un concours d’admission désigne la promotion suivante.

Celui que je raconte ici vient de constituer la promotion 2026-2028 : vingt élèves de seconde, choisis parmi soixante-sept candidats. Le préparer a été l’un des projets les plus enthousiasmants de mon année, et je ne l’ai pas mené seul, puisque les élèves de la première promotion, aujourd’hui en terminale, m’ont aidé à imaginer les énoncés, à organiser les épreuves et à surveiller les candidats. Mes propres élèves ont ainsi participé à recruter ceux qui prendront un jour leur suite, et j’y reviendrai en fin d’article, parce que c’est sans doute ce que je retiens de plus fort.

Ce que je cherchais chez ces candidats, ce n’était pas d’abord des réponses justes. C’était une façon d’aborder l’inconnu, une manière de chercher.

Pourquoi un concours plutôt que les notes de classe

J’aurais pu me contenter des bulletins. Les moyennes de seconde sont déjà là, elles classent les élèves et ne réclament aucune organisation. Mais elles ne mesurent pas ce que je cherche vraiment.

Une bonne moyenne en seconde me dit qu’un élève suit, qu’il rend son travail, qu’il maitrise les automatismes attendus. Elle ne me dit rien de sa réaction devant un problème qu’il n’a jamais vu. Est-ce qu’il se fige ? Est-ce qu’il abandonne au bout de cinq minutes ? Ou est-ce qu’il commence à griffonner des cas, à tester, à conjecturer ? C’est cette posture-là que le Programme Lang demande, et c’est elle que le concours doit révéler.

Le concours évalue donc deux qualités complémentaires : la maitrise du socle de la classe de seconde, et le goût de la recherche, cette capacité à explorer, à formuler une hypothèse et à argumenter face à l’inconnu. La première se vérifie. La seconde se provoque, en mettant les candidats devant des problèmes ouverts, et en regardant ce qu’ils en font.

Deux épreuves, deux intentions

Le concours s’est déroulé en deux épreuves écrites, les mercredis 27 mai et 3 juin 2026, dans la salle d’examen du lycée, sans calculatrice. Chacune a un rôle précis, et un poids proportionné à ce qu’elle mesure.

Le QCM mesure le socle, et son barème est pensé pour décourager le hasard : une bonne réponse vaut $+0{,}5$, une réponse fausse coûte $-0{,}125$, et l’absence de réponse ne coûte rien, pour un total sur $20$. Cocher au pif a donc une espérance négative, si bien qu’un candidat qui ne sait pas et coche quand même se pénalise, là où celui qui s’abstient garde ses points. Je veux mesurer ce qu’ils savent, pas ce qu’ils devinent.

Si l’épreuve de recherche pèse deux fois plus, c’est parce que c’est elle qui sépare vraiment les candidats. Au-delà des deux courts exercices d’ouverture (un système concret à deux immeubles, puis une jolie somme $X^3 + Y^3$ à retrouver à partir de $X+Y$ et $X^2+Y^2$), elle pose deux problèmes autrement plus ambitieux, que je détaille plus bas.

La moyenne de chaque candidat combine les deux épreuves :

Compléter le carré : la formule du second degré vue comme une aire

Le premier gros problème demande de résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $a > 0$) sans jamais sortir la formule du discriminant : on la reconstruit, géométriquement, par complétion du carré.

On commence par diviser par $a$, ce qui est licite puisque $a > 0$, pour se ramener à $x^2 + \dfrac{b}{a}\,x = -\dfrac{c}{a}$. Et là, toute l’astuce tient dans une seule idée : lire le membre de gauche comme une aire, celle d’un carré de côté $x$ accolé à un rectangle de côtés $x$ et $\dfrac{b}{a}$.

On coupe ce rectangle en deux bandes identiques, qu’on dispose le long de deux côtés du carré. Il manque alors un petit carré d’angle, de côté $\dfrac{b}{2a}$, pour compléter un grand carré.

Ce petit carré manquant a pour aire $\dfrac{b^2}{4a^2}$. En l’ajoutant des deux côtés de l’égalité, on obtient l’identité que toute la construction visait :

À partir de là, l’équation devient $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$, et il ne reste qu’à discuter le signe de $b^2 - 4ac$ pour retrouver les trois cas habituels. Un élève de seconde, qui ne connait pas encore le discriminant, vient de le redécouvrir avec des aires de rectangles.

La question que je préfère arrive à la toute fin de l’énoncé : que devient la figure si $b < 0$ ? Elle s’effondre, tout simplement, parce que $\dfrac{b}{a}$ cesse d’être une longueur et qu’on ne peut plus dessiner le moindre rectangle. Et pourtant l’identité, elle, reste vraie, puisque c’est une égalité algébrique valable pour tout réel $b$, dessin ou pas.

Fabriquer des triplets pythagoriciens avec un cercle

Le dernier problème est le cœur du concours. Il conduit les candidats sur tout le chemin de la recherche : observer, conjecturer puis démontrer. Je ne l’ai pas inventé de toutes pièces : il est lourdement inspiré d’un exercice d’olympiades, que j’ai adapté et découpé en étapes pour le rendre accessible à des élèves de seconde, sans rien retirer de son idée.

Le point de départ est connu : un triplet pythagoricien est un triplet d’entiers $(a\,;b\,;c)$ tels que $a^2 + b^2 = c^2$, autrement dit les côtés d’un triangle rectangle. Le plus célèbre est $(3\,;4\,;5)$, et en le multipliant par un entier on en fabrique déjà une infinité, $(3n\,;4n\,;5n)$, mais ce ne sont que des copies agrandies du même triangle. La vraie question est ailleurs : comment les obtenir tous ?

L’idée du problème est de passer par le cercle unité, d’équation $x^2 + y^2 = 1$, sur lequel un point à coordonnées rationnelles correspond exactement à un triplet pythagoricien. Toute la difficulté est alors de les produire, et c’est là qu’intervient une construction très simple : on part du point $A(0\,;1)$, en haut du cercle, on trace une droite de pente $-r$ avec $r$ rationnel entre $0$ et $1$, et cette droite recoupe le cercle en un second point $P$ dont on calcule les coordonnées :

En écrivant $r = \dfrac{p}{q}$, ces deux fractions se rangent sur un même dénominateur, et le triplet apparait. Voici la machine en action : chaque pente $\dfrac{p}{q}$ envoie le point $P$ ailleurs sur le cercle, et livre un nouveau triplet.

L’épreuve ne donne pas la formule. Elle fait calculer trois cas, $r = \dfrac{1}{2}$, $r = \dfrac{2}{3}$, $r = \dfrac{3}{4}$, qui donnent $(4\,;3\,;5)$, $(12\,;5\,;13)$ et $(24\,;7\,;25)$. Puis elle demande de conjecturer la formule générale à partir de ces exemples, et seulement ensuite de la démontrer. La conjecture attendue :

Et la preuve tient en une ligne de calcul, à la portée d’un bon élève de seconde :

Ce qui m’intéresse ici, ce n’est pas que les candidats arrivent à la formule. C’est de voir comment ils s’y prennent. Celui qui calcule les trois cas, repère le motif, ose écrire une hypothèse et la teste, a fait le travail d’un chercheur, même s’il bute sur la démonstration finale.

Noter la recherche, pas seulement la réponse

C’est la partie la plus délicate à organiser, et la plus éloignée d’un devoir classique. Dans une évaluation ordinaire, le résultat commande la note : c’est juste, ou c’est faux. Ici, la démarche compte autant que le résultat, et il faut un barème capable de le traduire.

J’ai donc construit une grille de correction détaillée, problème par problème, qui découpe chaque question en sous-étapes et anticipe les erreurs typiques avec le crédit partiel associé. Le principe est simple à énoncer, plus exigeant à appliquer : toute recherche pertinente, même inachevée, est valorisée dès qu’elle constitue une résolution partielle.

Concrètement, un candidat qui pose le bon système sans le résoudre a déjà fourni l’essentiel. Une exploration de cas, une conjecture argumentée même non prouvée, un début de preuve, l’identification d’une idée-clé : tout cela rapporte des points. Et un blocage assumé, avec les pistes tentées écrites noir sur blanc, vaut mieux qu’une copie qui s’arrête en silence.

Ce que disent les résultats

Cette année, 67 candidats issus de douze classes de seconde se sont présentés. Se porter volontaire pour une épreuve difficile et y consacrer deux après-midis témoigne déjà d’une vraie motivation, et je tenais à les remercier tous, admis ou non.

La participation s’est répartie largement entre les douze classes de seconde, sans qu’aucune ne porte le concours à elle seule.

Le niveau d’ensemble a été solide et homogène. La moyenne générale s’établit à $8{,}1 / 20$, la médiane à $8{,}1 / 20$ également, et la meilleure moyenne à $14{,}2 / 20$. Ces chiffres peuvent sembler bas, mais c’est attendu : l’épreuve de recherche est difficile, et son rôle n’est pas de valider des acquis, c’est d’étaler les candidats pour les départager. La plupart se tiennent dans un large peloton resserré, signe d’un concours disputé.

La forme de la distribution raconte bien le concours : un gros paquet de candidats entre 6 et 11, et la barre d’admission qui vient découper ce peloton serré.

Fidèle à l’esprit du programme, chaque candidat est distingué. Les résultats prennent la forme de trois mentions, sans classement nominatif ni note publiée : chacun figure dans l’une d’elles, et le détail personnel reste disponible sur demande des familles.

Filles et mixité

Un chiffre me tient à cœur, et ce n’est pas encore celui que je voudrais. Sur les 67 candidats, on compte 26 filles, soit 39 %, pour 41 garçons. Malgré nos efforts pour les encourager à se présenter, la participation reste loin de la parité.

Mais cette participation est remarquablement qualitative, et c’est ce qui me frappe le plus quand je regarde le détail.

Neuf filles admises sur vingt, c’est près de la moitié de la promotion, et leur taux de sélection, 35 % contre 27 %, dépasse nettement celui des garçons. Surtout, sur l’épreuve de recherche, la plus exigeante des deux, ce sont elles qui passent devant, avec $8{,}2$ de moyenne contre $7{,}9$. Sur l’épreuve qui départage vraiment les candidats, autrement dit, les filles se détachent.

Ces résultats m’encouragent, parce que la marche vers la parité passera d’abord par une participation plus large : je mettrai tout en œuvre l’an prochain pour inciter davantage de filles à tenter le concours.

Pour conclure

Un concours comme celui-là ne cherche pas des réponses justes, il cherche des élèves qui savent chercher : explorer un cas, oser une conjecture, tenir une preuve, et reconnaitre la frontière entre ce qui est prouvé et ce qui n’est encore qu’une intuition. Les vingt admis ont montré qu’ils en étaient capables, et ils rejoindront le programme à la rentrée.

Je veux finir sur ceux sans qui ce concours n’aurait pas existé sous cette forme : les élèves de la première promotion, aujourd’hui en terminale. Ils ont mis la main à la pâte sur les énoncés, ils ont aidé à organiser les épreuves, et ils ont surveillé les candidats. Voir mes propres élèves construire l’examen qui recrutera leurs successeurs, c’est une des plus belles choses que ce programme m’ait offertes. Ils ont aussi tenu à adresser un mot aux candidats.

Pour les collègues qui liraient ces lignes en songeant à monter un dispositif semblable : c’est exigeant à organiser, mais profondément stimulant, et je serai heureux d’en discuter. C’est le même réflexe qui m’a poussé à publier le bilan pédagogique de ma terminale : documenter et partager ce genre d’expérience vaut mieux que de laisser chaque édition s’effacer sans laisser de trace.