Infinis et dénombrabilité · Interactif
Ensemble ternaire de Cantor
Slider sur les itérations successives. Barres pleines qui se fragmentent : la longueur tend vers 0, le cardinal reste 2^ℵ₀.
Ensemble triadique de Cantor
Un ensemble aussi « gros » que ℝ, mais de longueur nulle
On part du segment [0, 1]. À chaque étape, on retire le tiers médian ouvert de chaque segment. À la limite, ce qu'il reste est une poussière qu'on peut mesurer (mesure nulle) mais qui contient autant de points que ℝ entier.
Segments 16
Longueur totale (2/3)⁴ ≈ 0,198
Cardinal à l'infini 2ℵ₀ = card(ℝ)
À la limite, la longueur tend vers 0 (on a retiré « presque tout ») mais l'ensemble de Cantor contient autant de points que ℝ. Comment est-ce possible ? Parce que le cardinal et la mesure sont deux manières différentes de compter « combien ». C'est un des contre-exemples les plus frappants de l'analyse réelle.
Voir dans son contexte Diagonale de Cantor et hiérarchie des infinis